Buenas tardes,
La herramienta de Windows Server Backup no incluye esta característica.
Si no quieres invertir en alguna herramienta de backup, podrías crear algún script que llame al Windows Server Backup y luego de eso,
ejecutar IF NOT ERRORLEVEL==0 (O sea, si se ejecutó con problemas)
y acá podrías hacer uso de algún programa tipo postie para el envío de la alerta.
Yo particularmente, utilizo mucho script personalizados con alertas por mail combinándolo con herramientas tipo NTBACKUP, 7ZIP, Xcopy, etc.
Si te interesa, te amplío la información.
Saludos,